Cours d'analyse (Volume 3)

Name: Cours d'analyse (Volume 3)
Brand: Presses Polytechniques Universitaires Romandes
SKU: 9782889142743
Price: 69.99 EUR
Availability: InStock
ISBN: 978-2-889-14274-3

Equations différentielles ordinaires et aux dérivées partielles

de Srishti D. Chatterji (auteur)

Maison d'édition : Presses Polytechniques et Universitaires Romandes (PPUR)

Collection : Enseignement des mathématiques

juillet 1998

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69,99 €

Résumé

L'objectif principal du troisième volume de ce Cours d'Analyse est de donner une introduction à la théorie des équations différentielles ordinaires et aux dérivées partielles et d'introduire certains outils de base pour les méthodes mathématiques de la physique, comme les espaces hilbertiens, les séries et l'intégrale de Fourier-Laplace et les distributions. La première partie présente la théorie fondamentale des équations différentielles ordinaires en utilisant les méthodes analytiques classiques. Le premier chapitre concerne les théorèmes d'existence et d'unicité généraux; le second traite les équations linéaires. La deuxième partie développe les outils de bases pour l'étude des équations aux dérivées partielles: les espaces hilbertiens, les développements orthogonaux, les opérateurs dans les espaces hilbertiens, les transformées de Fourrier et de Laplace. Elle contient aussi une introduction à la théorie des distributions. La troisième et dernière partie concerne les équations aux dérivées partielles; le premier chapitre de celle-ci étudie, entre autres, la problématique générale autour des équations linéaires du second ordre, en donnant les solutions formelles pour les équations de Laplace-Poisson, de Schrödinger, de la chaleur et des ondes. Le dernier chapitre présente quelques démonstrations précises concernant le laplacien et ses valeurs propres. Outil de travail conçu pour les étudiants en mathématiques et physique dans leurs deuxième et troisième années d'études, la richesse et la complétude de son index en font un manuel de référence pour tout mathématicien.

Sommaire

Conventions, notations et rappels
Equations différencielles ordinaires
Existence et unicité des solutions: Généralités sur les équations différencielles ordinaires
Théorèmes généraux
Equations linéaires
Prolongement des solutions
Exemples
Compléments
Remarques
Exercices
Equations linéaires: Systèmes linéaires généraux du premier ordre
Systèmes linéaires du premier ordre à coefficients constants
Equations linéaires d'ordre supérieur
Equations linéaires du second ordre
Solutions à l'aide de series entières
Etude qualitative des équations différencielles linéaires du second ordre
Exercices
Quelques compléments
Analyse Hilbertienne
Espaces de Hilbert: Notions fondamentales
Exemples
Espaces séparables
Systèmes orthogonaux
Séries et sommes dans un espace préhilbertien
Bases orthonormales
Approximation optimale
Compléments
Développements orthogonaux
Séries de Fourier
Convergence ponctuelle des séries de Fourier
Exercices
Compléments et généralisations
Séries de Fourier des distributions
Exercices
Polynômes orthogonaux
Opérateurs dans les espaces hilbertiens
Notions fondamentales
Exemples- Opérateurs compacts
Théorie spectrale pour les opérateurs compacts symétriques
Equations intégrales
Spectre d'un opérateur borné
Exercices
Opérateurs non bornés
Spectre des opérateurs non bornés
Langage de la mécanique quantique
Remarques
Transformations de Fourier et de Laplace
Transformation de Fourier
Développements théoriques
Formule de Stirling
Distributions
Quelques compléments élémentaires
Exercices
Compléments concernant la transformation
Transformation de Laplace
Développements théoriques
Transformée de Laplace des distributions
Application aux équations différentielles
Exercices
Remarques complémentaires concernant la transformation de Laplace
Equation aux dérivées partielles: Introduction
Généralités
Equation aux dérivées partielles linéaires du premier ordre
Equation aux dérivées partielles linéaires du second ordre
Solutions formelles
Conditions aux limites non homogènes
Exemples d'opérateurs
Appendice
Exercices
Compléments
Problèmes associés au Laplacien : Formules préliminaires
Fonctions harmoniques
Fonctions sous-harmoniques
Propriétés des fonctions harmoniques
Problème de Dirichlet
Valeurs propres
Equations de la chaleur
Equation des ondes
Exercices
Indications bibliographiques
Réponses aux exercices
Bibliographie
Index